Anwendung der h-Methode

In diesem Beitrag wird nur anhand eines Beispiels gezeigt, wie die h-Methode zur Berechnung der lokalen Änderungsrate angewendet wird. Hier gelangst du zur Herleitung der h-Methode.

Aus der Herleitung geht hervor, dass die folgende Gleichung

\[ m = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h+a)-f(a)}{h} \right) \]

die lokale Änderungsrate \( m \) an der Stelle \( a \) entspricht.

Beispiel

Bestimme mithilfe der h-Methode die lokale Änderungsrate der Funktion \( f(x) = x^2 – 4x \) an der Stelle \( a = 3 \).

Als erstes wird \( a = 3 \) in die oben stehende Formel für die lokale Änderungsrate eingesetzt:

\[ m = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h+3)-f(3)}{h} \right) \]

Hierfür schauen wir uns die Terme \( f(3) \) und \( f(h+3) \) genauer an:

\begin{align} f(3) &= 3^2 -4 \cdot 3 \\ &= 9-12\\ &= -3 \end{align} \[ \begin{align} f(h+3) &= (h+3)^2 – 4 \cdot (h+3) && | (h+3)^2 = h^2+6h+9 \\ &= h^2+6h+9- 4 \cdot (h+3) && | 4 \cdot (h+3) = -4h-12\\ &= h^2+6h+9-4h-12\\ &= h^2+2h-3 \end{align} \]

Diese beiden Ergebnisse können wieder in die Gleichung für die Steigung \( m \) eingesetzt werden:

\[ \begin{align*} m &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2+2h-3 – (-3)}{h} \right)\\ &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2+2h-3 +3}{h} \right)\\ &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2+2h}{h} \right) && | h \text{ kürzen}\\ &= \lim_{h \to 0} \left( h + 2 \right) \\ \end{align*} \]

Um nun den Limes aufzulösen stellen wir uns vor, dass \( h = 0 \) ist:

Das bedeutet, dass an der Stelle \( a = 3 \) der Funktion \( f(x) \) die lokale Änderungsrate (Steigung) \( m = 2 \) ist.

Aufgaben zum Üben