Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist die Grundlage aller Prozesse, bei denen sich ein Wert in konstanten Schritten vervielfacht – sei es das Wachstum von Bakterienkulturen, das Zinseszinsprinzip oder die Ausbreitung von Informationen im Internet. In ihrer allgemeinsten Form lautet sie

\[ f(x) = a \cdot b^x \]

wobei

• \(a\) den Startwert (den Funktionswert bei \(x=0\)) bestimmt,
• \(b\) die Basis ist, die angibt, um welchen Faktor sich der Funktionswert pro Einheit von \(x\) erhöht oder verringert, und
• \(x\) die unabhängige Variable (oft Zeit, aber auch andere Dimensionen).

Vergleich zwischen linearem und exponentiellem Wachstum

Im Gegensatz zum linearen Wachstum, bei dem die Zunahme konstant ist (z. B. \(g(x)=c \cdot x + d\)), wächst bei der Exponentialfunktion der Funktionswert mit zunehmendem \(x\) immer schneller – das „Wachstum beschleunigt sich“. Hierzu ein Beispiel: Wir vergleichen zwei sehr unterschiedliche Sparstrategien:

• Konto \(f\)  erhält jeden Monat 10 % Zinsen auf den aktuellen Kontostand – das Wachstum ist exponentiell, weil die Zinsen selbst immer größer werden.
• Konto \(g\) bekommt jeden Monat eine feste Einzahlung von 25 € – das Wachstum ist linear, weil der Zuwachs konstant bleibt.
• Beide Konten starten mit 100 €.

Zunächst wirkt das lineare Wachstum des Kontos \(g\) vielversprechend, weil das Geld rasch ansteigt. Mit der Zeit wird jedoch deutlich, dass das exponentielle Wachstum des Kontos \(f\) – obwohl es anfangs langsamer voranschreitet – langfristig das lineare Wachstum übertrifft.