Lineare Funktionen

Lineare Funktionen gehören zu den Grundlagen der Mathematik und sind in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik unverzichtbar. Hier bekommst du eine kompakte Übersicht.

Definition

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form:

\[ y = m \cdot x + b \]

• \(m\) ist die Steigung der Funktion. Sie gibt an, wie stark die Funktion steigt oder fällt.
• \(b\) ist der y-Achsenabschnitt. Das ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet (\(x=0\)).

Steigung

Die Steigung \(m\) einer linearen Funktion kann man auch anschaulich über ein Steigungsdreieck darstellen.
Dazu wählt man zwei Punkte \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\) auf der Geraden. Das Steigungsdreieck ist das rechtwinklige Dreieck, das diese beiden Punkte miteinander verbindet:

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Die Steigung ist dann das Verhältnis von \(\Delta y\) zu \(\Delta x\):

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

• Ein steiles Dreieck → \(m\) groß
• Ein flaches Dreieck → \(m\) klein
• Dreieck nach unten fallend → \(m\) negativ

So kannst du die Steigung direkt aus dem Graphen ablesen, ohne Punkte einzeln einsetzen zu müssen.