{"id":874,"date":"2026-02-18T15:08:16","date_gmt":"2026-02-18T14:08:16","guid":{"rendered":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/?p=874"},"modified":"2026-02-20T16:06:07","modified_gmt":"2026-02-20T15:06:07","slug":"grenzwert-bestimmen-limes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2026\/02\/18\/grenzwert-bestimmen-limes\/","title":{"rendered":"Grenzwert bestimmen (Limes)"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Grenzwertbestimmung <\/strong>ist ein zentrales Thema in der Analysis. Sie beschreibt, welchen Wert eine Folge oder eine Funktion annimmt, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt strebt. <\/p>\n\n\n\n<p>Der <strong>Limes <\/strong>ist das mathematische Werkzeug, das diese Idee formalisiert. In der Formulierung des Limes wird die Beziehung zwischen einer Folge oder Funktion und ihrem Grenzwert pr\u00e4zise beschrieben. Der Limes erm\u00f6glicht es, Grenzwerte zu bestimmen, zu beweisen und mit ihnen weiterzuarbeiten.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Beispiel: Grenzwert einer Funktion<\/h2>\n\n\n\n\\[\nf(x) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x}\n\\]\n\n\n\n<p>Wir wollen den Grenzwert von \\( f(x) \\), wenn \\( x\\)  gegen unendlich strebt, bestimmen. Dazu stellen wir uns die folgende Frage: <\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Was pasiert mit den \\(y\\)-Werten von \\(f(x)\\), wenn \\(x\\) immer gr\u00f6\u00dfer wird?<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Schauen wir uns hierzu den Graphen an:<\/p>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/classic\/xaw8s54c?embed\" width=\"800\" height=\"600\" allowfullscreen style=\"border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;\" frameborder=\"0\"><\/iframe>\n\n\n\n<p>In der Animation k\u00f6nnen die Koordinaten des Punktes \\(A\\) beobachtet werden. Daran erkennt man, dass der \\(x\\)-Wert immer gr\u00f6\u00dfer und der \\(y\\)-Wert immer kleiner wird. Man k\u00f6nnte vermuten, dass \\(y\\) irgendwann den Wert \\(y= 0\\) erreicht. Dies ist aber nur m\u00f6glich, wenn \\(x \\to \\infty\\) l\u00e4uft. Bei der Funktion \\(f(x)\\) handelt es sich um eine Halbierungsfunktion. Sie beginnt mit einem \\(y-\\)-Wert \\(y=1\\) und wird mit jedem \\(x\\) halbiert. Wird \\(y\\) also jemals den Wert \\(y=0\\) erreichen? Versuchen wir es mit einem Gedankenexperiment:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Wir starten, wie bei \\(f(x)\\), mit einem Wert von \\(y=1\\). Wie oft m\u00fcsste \\(y\\) halbiert werden, damit dieser Wert Null wird? Probiere es gerne mit einem Taschenrechner aus!<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Das Ergebnis des Gedankenexperiments ist, dass \\(y\\) niemals Null wird, da ich jede reelle Zahl nochmal durch zwei teilen kann. Es gibt also unendlich viele kleine Zahlen f\u00fcr \\(y\\). Aber wir k\u00f6nnen angeben, welchen Wert sich \\(y\\) ann\u00e4hert, wenn \\(x\\) immer gr\u00f6\u00dfer wird. Hierf\u00fcr nutzen stellen wir den Grenzwert \\(G\\) mit Hilfe des Limes auf:<\/p>\n\n\n\n\\begin{align*}\nG &#038;= \\lim_{x \\to \\infty} \\left( f(x) \\right) \\\\\n&#038;= \\lim_{x \\to \\infty} \\left( \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x} \\right) \\\\\n&#038;= 0\n\\end{align*}\n\n\n\n<p>Wie wird der Limes nun angewendet? <\/p>\n\n\n\n<p>Man stelle sich vor, dass f\u00fcr \\(x\\) tats\u00e4chlich nun \\( \\infty \\) eingesetzt wird. Welchen Wert m\u00fcsste der Term dann ergeben? Richtig, Null!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Grenzwertbestimmung ist ein zentrales Thema in der Analysis. Sie beschreibt, welchen Wert eine Folge oder eine Funktion annimmt, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt strebt. Der Limes ist das mathematische Werkzeug, das diese Idee formalisiert. 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