{"id":748,"date":"2026-01-14T19:29:37","date_gmt":"2026-01-14T18:29:37","guid":{"rendered":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/?p=748"},"modified":"2026-04-14T13:23:47","modified_gmt":"2026-04-14T11:23:47","slug":"herleitung-der-lokalen-aenderungsrate-mittels-h-methode","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2026\/01\/14\/herleitung-der-lokalen-aenderungsrate-mittels-h-methode\/","title":{"rendered":"Herleitung der lokalen \u00c4nderungsrate mittels h-Methode"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Beitrag geht es um die <strong>Herleitung der h\u2011Methode<\/strong>, also um die Bestimmung der lokalen \u00c4nderungsrate an einem einzigen Punkt einer Funktion. Wenn du nicht an der Herleitung interessiert bist und nur ein Rechenbeispiel suchst, dann klicke <a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/09\/24\/herleitung-der-lokalen-aenderungsrate-steigung\/\">hier<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<div id=\"rotateWarningCSS\" style=\"\n    display: none;\n    background: #ffdd57;\n    color: #333;\n    padding: 10px 20px;\n    border-radius: 8px;\n    font-size: 1em;\n    box-shadow: 0 0 10px rgba(0,0,0,0.2);\n    margin: 20px 0;\">\n  \ud83d\udcf1 Um die Inhalte vollst\u00e4ndig anzeigen zu k\u00f6nnen, drehe bitte dein Ger\u00e4t!\n<\/div>\n\n<style>\n@media (max-width: 600px) and (orientation: portrait) {\n    #rotateWarningCSS {\n        display: block !important;\n    }\n}\n<\/style>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"h-Methode auf ernst verstehen| Was ist das?| Ableitungen | Einfach erkla\u0308rt\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Izzxg6_7UZQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Wiederholung: durschnittliche \u00c4nderungsrate<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-9d6595d7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p>Bevor wir in die <strong>h\u2011Methode <\/strong>einsteigen, erinnern wir uns zun\u00e4chst an die <strong><a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/12\/17\/durchschnittliche-aenderungsrate\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">durchschnittliche \u00c4nderungsrate<\/a>.<\/strong> Sie beschreibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten \\(A\\) und \\(B\\) auf einer Kurve und ist damit das Vorwissen, das wir f\u00fcr die h\u2011Methode ben\u00f6tigen.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"812\" src=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-1024x812.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-666\" srcset=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-1024x812.png 1024w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-300x238.png 300w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-768x609.png 768w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-1536x1218.png 1536w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/durchschnittlicheAenderungsrate-2048x1624.png 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p>In dem Beitrag zur <a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/12\/17\/durchschnittliche-aenderungsrate\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">durchschnittlichen \u00c4nderungsrate<\/a> haben wir diese anhand der Funktion \\(f(x)=x^2\\) zwischen den beiden Punkte \\(A(1|1)\\) und \\(B(2|4)\\) mit Hilfe des bestimmt Differenzenquotienten bestimmt:<\/p>\n\n\n\n\\[\nm_{[a,b]} = \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\n\\]\n\n\n\n<p>Setzt man die Koordinaten von A und B ein, erh\u00e4lt man<\/p>\n\n\n\n\\[\nm_{[1,2]} = \\frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \\frac{4-1}{1} = 3.\n\\]\n\n\n\n<p>Damit haben wir die Steigung der <strong>Sekante <\/strong>zwischen den Punkten \\(A\\) und \\(B\\) bestimmt. Nun wollen wir jedoch die Steigung an exakt dem Punkt \\(A\\), also die <strong>lokale \u00c4nderungsrate<\/strong>, bestimmen.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Durchschnittliche \u00c4nderungsrate umbauen&#8230;<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-9d6595d7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p>Um die lokale \u00c4nderungsrate zu bestimmen, beschreiben wir zun\u00e4chst den Abstand zwischen den Punkten \\( A\\) und \\( B \\) durch den horizontalen Abstand \\( h = b &#8211; a \\).<br>Damit k\u00f6nnen wir die Gleichung f\u00fcr die durschnittliche \u00c4nderungsrate etwas umbauen:<\/p>\n\n\n\n<div id=\"rotateWarningCSS\" style=\"\n    display: none;\n    background: #ffdd57;\n    color: #333;\n    padding: 10px 20px;\n    border-radius: 8px;\n    font-size: 1em;\n    box-shadow: 0 0 10px rgba(0,0,0,0.2);\n    margin: 20px 0;\">\n  \ud83d\udcf1 Um die Inhalte vollst\u00e4ndig anzeigen zu k\u00f6nnen, drehe bitte dein Ger\u00e4t!\n<\/div>\n\n<style>\n@media (max-width: 600px) and (orientation: portrait) {\n    #rotateWarningCSS {\n        display: block !important;\n    }\n}\n<\/style>\n\n\n\n\\begin{align*}\nm_{[a,b]} &#038;= \\frac{f(b)-f(a)}{b-a} &#038;&#038; | b = h + a\\\\\nm_h &#038;= \\frac{f(h+a)-f(a)}{h+a-a} \\\\\nm_h &#038;= \\frac{f(h+a)-f(a)}{h} \\\\\n\\end{align*}\n\n\n\n<p>Mit dieser Gleichung k\u00f6nnen wir genauso wie vorher auch die durchschnittliche \u00c4nderungsrate berechnen nur mit dem Vorteil, dass wir nun direkt den Abstand \\( h \\) einsetzen k\u00f6nnen.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"734\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/h-734x1024.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-879\" style=\"aspect-ratio:0.7167912341866216;width:284px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/h-734x1024.png 734w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/h-215x300.png 215w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/h-768x1072.png 768w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/h.png 778w\" sizes=\"auto, (max-width: 734px) 100vw, 734px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Herleitung der lokalen \u00c4nderungsrate<\/h2>\n\n\n\n<p>Die erste Idee w\u00e4re, den Punkt \\(B\\) exakt auf den Punkt \\(A\\) zu legen, also \\( B(1|1) \\). Dann w\u00e4re der Differenzenquotient<\/p>\n\n\n\n\\begin{align*}\nm_{h} &#038;= \\frac{f(h+a)-f(a)}{h} \\\\\nm_{0} &#038;= \\frac{f(0+1)-f(1)}{0} = \\frac{0}{0}.\n\\end{align*}\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-9d6595d7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p>Da der Nenner Null wird, ergibt sich ein undefinierter Ausdruck, der in der Praxis als Null interpretiert werden w\u00fcrde. Dies macht keinen Sinn, denn die <strong>Tangente <\/strong>an der Stelle \\( x=1 \\) hat eine Steigung gr\u00f6\u00dfer als Null, wie die graphische Darstellung zeigt.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"814\" src=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-1024x814.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-749\" srcset=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-1024x814.png 1024w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-300x239.png 300w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-768x611.png 768w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-1536x1222.png 1536w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/lokaleAenderungsrate_Tangente-2048x1629.png 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p>Demnach d\u00fcrfen wir f\u00fcr den Abstand \\( h = 0 \\) nicht zulassen. Eine andere Idee besteht darin, \\(B\\) nicht exakt auf \\(A\\) zu platzieren, sondern sehr nahe an \\(A\\). Damit w\u00e4re \\( h \\neq 0 \\).<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-9d6595d7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"770\" src=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-1024x770.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-880\" srcset=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-1024x770.png 1024w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-300x226.png 300w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-768x578.png 768w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-1536x1156.png 1536w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/hklei-2048x1541.png 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p>Wir w\u00e4hlen also den zweiten Punkt \\( B \\) auf der Kurve, der nicht exakt auf \\( A \\) liegt, sondern nur einen kleinen horizontalen Abstand \\( h \\) von \\( A \\) entfernt ist. Beispielsweise setzen wir f\u00fcr \\( B \\) die Koordinaten \\( B(1,1 \\mid f(1,1)) \\). <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p>Wenn wir mit diesen neuen Werten den Differenzenquotienten berechnen, dann bekommen wir <\/p>\n\n\n\n\\begin{align*}\nm_h &#038;= \\frac{f(h+a)-f(a)}{h} \\\\\nm_{0,1} &#038;= \\frac{f(0,1+1)-f(1)}{0,1} = 2,1.\n\\end{align*}\n\n\n\n<p>Da der Punkt \\( B \\) nicht exakt auf \\( A \\) liegt, und somit der horizontale Abstand \\( h = 1,1 &#8211; 1 =0,1 \\neq 0\\) ist, handelt es sich bei unserem Ergebnis von \\(m = 2,1 \\) um nur ein ungef\u00e4hres Ergebnis. Um die Genauigkeit zu erh\u00f6hen, verkleinern wir \\( h \\) weiter. In der folgenden Animation wird der Abstand \\(h\\) immer weiter verkleinert. Wie verh\u00e4lt sich die Steigung \\( m \\), wenn \\(h \\) immer kleiner wird?<\/p>\n\n\n\n<div id=\"rotateWarningCSS\" style=\"\n    display: none;\n    background: #ffdd57;\n    color: #333;\n    padding: 10px 20px;\n    border-radius: 8px;\n    font-size: 1em;\n    box-shadow: 0 0 10px rgba(0,0,0,0.2);\n    margin: 20px 0;\">\n  \ud83d\udcf1 Um die Inhalte vollst\u00e4ndig anzeigen zu k\u00f6nnen, drehe bitte dein Ger\u00e4t!\n<\/div>\n\n<style>\n@media (max-width: 600px) and (orientation: portrait) {\n    #rotateWarningCSS {\n        display: block !important;\n    }\n}\n<\/style>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/classic\/wty825cu?embed\" width=\"100%\" height=\"600\" allowfullscreen style=\"border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;\" frameborder=\"0\"><\/iframe>\n\n\n\n<p>Anhand der Animation kann man erkennen, dass die Steigung \\( m \\) sich immer weiter an den Wert \\( 2 \\) ann\u00e4hert. Wenn wir nun also \\( h \\) sehr klein w\u00e4hlen, dann k\u00f6nnte man behaupten, dass die Steigung<\/p>\n\n\n\n\\[\nm \\approx 2.\n\\]\n\n\n\n<p>Hierbei handelt es sich immer noch um ein ungef\u00e4hres Ergebnis. Nun stellt sich die Frage, wie der exakte Wert f\u00fcr die lokale \u00c4nderungsrate \\( m \\) bestimmt werden kann. Hierf\u00fcr muss der Abstand \\( h \\) so klein wie m\u00f6glich, aber \\( \\neq 0 \\) gesetzt werden. Also muss \\(h \\) unendlich klein werden! Hierf\u00fcr haben Mathematiker ein Werkzeug: den <a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2026\/02\/18\/grenzwert-bestimmen-limes\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Limes<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Damit l\u00e4sst sich die Gleichung f\u00fcr die durchschnittliche \u00c4nderungsrate wie folgt umschreiben:<\/p>\n\n\n\n\\[\nm = \\lim_{h \\rightarrow 0} \\left( \\frac{f(h+a)-f(a)}{h} \\right)\n\\]\n\n\n\n<p>Mit dieser Gleichung kann nun der exakte Wert f\u00fcr die lokale \u00c4nderungsrate an einer Stelle \\( x = a \\) bestimmt werden. <a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/09\/24\/herleitung-der-lokalen-aenderungsrate-steigung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Hier<\/a> gelangst du zu einem Rechenbeispiel.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Beitrag geht es um die Herleitung der h\u2011Methode, also um die Bestimmung der lokalen \u00c4nderungsrate an einem einzigen Punkt einer Funktion. Wenn du nicht an der Herleitung interessiert bist und nur ein Rechenbeispiel suchst, dann klicke hier. 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