{"id":609,"date":"2025-10-24T13:35:28","date_gmt":"2025-10-24T11:35:28","guid":{"rendered":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/?p=609"},"modified":"2025-10-24T18:13:13","modified_gmt":"2025-10-24T16:13:13","slug":"exponentialfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/10\/24\/exponentialfunktion\/","title":{"rendered":"Exponentialfunktion"},"content":{"rendered":"\n<p>Die Exponentialfunktion ist die Grundlage aller Prozesse, bei denen sich ein Wert in konstanten Schritten vervielfacht \u2013 sei es das Wachstum von Bakterienkulturen, das Zinseszinsprinzip oder die Ausbreitung von Informationen im Internet. In ihrer allgemeinsten Form lautet sie<\/p>\n\n\n\n\\[ f(x) = a \\cdot b^x \\]\n\n\n\n<p>wobei<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>\\(a\\) den Startwert (den Funktionswert bei \\(x=0\\)) bestimmt,<\/li>\n\n\n\n<li>\\(b\\) die Basis ist, die angibt, um welchen Faktor sich der Funktionswert pro Einheit von \\(x\\) erh\u00f6ht oder verringert, und<\/li>\n\n\n\n<li>\\(x\\) die unabh\u00e4ngige Variable (oft Zeit, aber auch andere Dimensionen).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-buttons is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-buttons-is-layout-16018d1d wp-block-buttons-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-button\"><a class=\"wp-block-button__link wp-element-button\" href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Exponentialfunktion.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Lernzettel als PDF<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Vergleich zwischen linearem und exponentiellem Wachstum<\/h2>\n\n\n\n<p>Im Gegensatz zum <a href=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/08\/19\/lineare-funktionen\/\" data-type=\"post\" data-id=\"374\">linearen Wachstum<\/a>, bei dem die Zunahme konstant ist (z.\u202fB. \\(g(x)=c \\cdot x + d\\)), w\u00e4chst bei der Exponentialfunktion der Funktionswert mit zunehmendem \\(x\\) immer schneller \u2013 das \u201eWachstum beschleunigt sich\u201c. Hierzu ein Beispiel: Wir vergleichen zwei sehr unterschiedliche Sparstrategien:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Konto \\(f\\)\u202f<\/strong> erh\u00e4lt jeden Monat 10\u202f% Zinsen auf den aktuellen Kontostand \u2013 das Wachstum ist <em>exponentiell<\/em>, weil die Zinsen selbst immer gr\u00f6\u00dfer werden.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Konto\u202f\\(g\\)<\/strong> bekommt jeden Monat eine feste Einzahlung von 25\u202f\u20ac \u2013 das Wachstum ist <em>linear<\/em>, weil der Zuwachs konstant bleibt.<\/li>\n\n\n\n<li>Beide Konten starten mit 100\u202f\u20ac.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-9d6595d7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"814\" src=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-1024x814.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-618\" srcset=\"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-1024x814.png 1024w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-300x239.png 300w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-768x611.png 768w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-1536x1222.png 1536w, https:\/\/gigaworld.ddns.net\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/LinearExpoVergleich-2-2048x1629.png 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Monat \\(t\\)<\/th><th><strong>Konto\u202f<\/strong>\\(f\\)<\/th><th><strong>Konto\u202f<\/strong>\\(g\\)<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>0<\/td><td>\u20ac\u202f100,00<\/td><td>\u20ac\u202f100,00<\/td><\/tr><tr><td>1<\/td><td>\u20ac\u202f110,00<\/td><td>\u20ac\u202f125,00<\/td><\/tr><tr><td>2<\/td><td>\u20ac\u202f121,00<\/td><td>\u20ac\u202f150,00<\/td><\/tr><tr><td>&#8230;<\/td><td>&#8230;<\/td><td>&#8230;<\/td><\/tr><tr><td>17<\/td><td>\u20ac\u202f505,43<\/td><td>\u20ac\u202f525,00<\/td><\/tr><tr><td>18<\/td><td>\u20ac\u202f555,97<\/td><td>\u20ac\u202f550,00<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p>Zun\u00e4chst wirkt das lineare Wachstum des Kontos \\(g\\) vielversprechend, weil das Geld rasch ansteigt. Mit der Zeit wird jedoch deutlich, dass das exponentielle Wachstum des Kontos \\(f\\) \u2013 obwohl es anfangs langsamer voranschreitet \u2013 langfristig das lineare Wachstum \u00fcbertrifft.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Exponentialfunktion ist die Grundlage aller Prozesse, bei denen sich ein Wert in konstanten Schritten vervielfacht \u2013 sei es das Wachstum von Bakterienkulturen, das Zinseszinsprinzip oder die Ausbreitung von Informationen im Internet. 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