{"id":567,"date":"2025-10-13T18:03:24","date_gmt":"2025-10-13T16:03:24","guid":{"rendered":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/?p=567"},"modified":"2025-10-18T10:24:57","modified_gmt":"2025-10-18T08:24:57","slug":"das-gaussverfahren-matrixschreibweise","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/10\/13\/das-gaussverfahren-matrixschreibweise\/","title":{"rendered":"Das Gau\u00dfverfahren (Matrixschreibweise)"},"content":{"rendered":"\n

Das Gau\u00dfverfahren wird zum L\u00f6sen von linearen Gleichungssystemen verwendet. In diesem Beitrag wird der Gau\u00dfalgorithmus anhand eines zun\u00e4chst einfachen Beispiels erkl\u00e4rt.<\/p>\n\n\n\n

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Lernzettel als PDF<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Zun\u00e4chst wird das lineare Gleichungssystem in die Matrixschreibweise \u00fcberf\u00fchrt, damit wir uns Schreibarbeit ersparen:<\/p>\n\n\n

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Ziel ist es nun die Eintr\u00e4ge der Matrix stufenartig auf Null zu setzen.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Hierzu schauen wir uns zun\u00e4chst die ersten beiden Zeilen an und \u00fcberlegen, wie diese so ver\u00e4ndert werden k\u00f6nnen, damit bei einer Addition der erste Eintrag der zweiten Zeile Null wird.<\/p>\n\n\n\n\\begin{align}\n2 \\cdot (-3)+3 \\cdot 2 =& \\text{ }0 \\\\\n-6 + 6 =& \\text{ }0\n\\end{align}\n<\/div>\n\n\n\n

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Nun wird die zweite und die dritte Zeile betrachtet und so ver\u00e4ndert, dass bei einer Addition der erste Eintrag der dritten Zeile Null wird. <\/p>\n\n\n\n\\begin{align}\n2 \\cdot (-2) + 4 =& \\text{ }0\\\\\n-4 + 4 =& \\text{ }0\n\\end{align}\n<\/div>\n\n\n\n

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Da wir bei einem dreizeiligem Gleichungssystem nun bereits in der letzten Zeile angekommen sind, wird versucht den zweiten Eintrag der letzten Zeile Null zu bekommen. <\/p>\n\n\n\n

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Nun werden die letzten beiden Zeilen wie zuvor dementsprechend umgebaut, damit sie bei der Addition von vorletzter und letzter Zeile den ersten und zweiten Eintrag der letzten Zeile Null ergibt.<\/p>\n\n\n\n\\[\n-5 + 5 = 0\n\\]\n<\/div>\n\n\n\n

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Wenn die Matrix stufenartig Null (von unten links ausgehend) aufgebaut ist, ist der Gau\u00dfalgorithmus beendet und die Matrix kann wieder in die normale Schreibweise \u00fcberf\u00fchrt werden:<\/p>\n\n\n

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Dieses vereinfachte Gleichungssystem kann nun von unten nach oben durch Umstellen der Gleichung und anschlie\u00dfendem Einsetzen in die dar\u00fcberliegende Gleichung recht schnell gel\u00f6st werden.<\/p>\n\n\n\n

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