{"id":409,"date":"2025-08-22T14:33:23","date_gmt":"2025-08-22T12:33:23","guid":{"rendered":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/?p=409"},"modified":"2025-10-29T17:17:16","modified_gmt":"2025-10-29T16:17:16","slug":"lineare-funktion-aus-zwei-punkten-aufstellen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigaworld.ddns.net\/index.php\/2025\/08\/22\/lineare-funktion-aus-zwei-punkten-aufstellen\/","title":{"rendered":"Lineare Funktion aus zwei Punkten aufstellen"},"content":{"rendered":"\n

In diesem Beitrag lernst du, wie aus zwei gegebenen Punkten \\(P_1(x_1\u200b,y_1)\u200b\\) und \\(P_2(x_2\u200b,y_2\u200b)\\) die zugeh\u00f6rige lineare Funktion<\/a> bestimmt wird.<\/p>\n\n\n\n

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Lernzettel als PDF<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Ansatz<\/h2>\n\n\n\n

Um eine Funktionsgleichung aufzustellen, muss immer zun\u00e4chst ein Ansatz aufgestellt werden. Da hier eine lineare Funktion bestimmt werden soll, nehmen wir den Ansatz einer Geraden:<\/p>\n\n\n\n\\[\ny=mx+b\n\\]\n\n\n\n

1. Schritt: Steigung \\(m\\) bestimmen<\/h2>\n\n\n\n

Die Steigung der Geraden<\/a> ist der Quotient aus der \u00c4nderung von \\(y\\) und der \u00c4nderung von \\(x\\):<\/p>\n\n\n\n\\[\nm = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\n\\]\n\n\n\n

In diese Gleichung k\u00f6nnen die gegebenen Werte der Punkte eingesetzt werden.<\/p>\n\n\n\n

2. Schritt: \\(y\\)-Achsenabschnitt \\(b\\) bestimmen<\/h2>\n\n\n\n

Der \\(y\\)-Achsenabschnitt kann bestimmt werden, indem einer<\/strong> der beiden gegebenen Punkte in den Ansatz der linearen Funktion eingesetzt und nach \\(b\\) aufgel\u00f6st wird:<\/p>\n\n\n\n\\[\n\\begin{align*}\ny_1 &= m \\cdot x_1 + b \\\\\nb &= y_1 – m \\cdot x_1\n\\end{align*}\n\\]\n\n\n\n

3. Schritt: \\(m\\) und \\(b\\) in den Ansatz einsetzen<\/h2>\n\n\n\n

Die gesuchte lineare Funktionsgleichung lautet <\/p>\n\n\n\n\\[\ny = m \\cdot x + b.\n\\]\n\n\n\n

Beispiel:<\/h2>\n\n\n\n

Gegeben sind die beiden Punkte \\(P_1(2, 3)\\) und \\(P_2(5, 9)\\) wodurch eine lineare Funktion<\/a> verlaufen soll.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

1. Steigung \\(m\\) bestimmen<\/h2>\n\n\n\n

Hierf\u00fcr setzen wir die Werte \\(x_1 = 2\\) & \\(y_1 = 3\\) des ersten Punktes und \\(x_2 = 5\\) & \\(y_2 = 9\\) des zweiten Punktes in die Gleichung der Steigung ein:<\/p>\n\n\n\n\\[\n\\begin{align*}\nm &= \\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \\\\\n &= \\frac{9-3}{5-2} \\\\\n &= \\frac{6}{3} = 2\n\\end{align*}\n\\]\n\n\n\n

Somit betr\u00e4gt die Steigung \\(m = 2\\).<\/p>\n\n\n\n

2. \\(y\\)-Achsenabschnitt bestimmen<\/h2>\n\n\n\n

Hierf\u00fcr wird die Steigung \\(m = 2\\) und einer der beiden Punkte in den Ansatz eingesetzt und die Gleichung nach \\(b\\) umgestellt. In diesem Fallen nehmen wir die Werte aus dem Punkt \\(P_1\\): <\/p>\n\n\n\n\\[\n\\begin{align*}\ny_1 &= m \\cdot x_1 + b \\\\\n3 &= 2 \\cdot 2 + b \\\\\n3 &= 4 + b && |-4 \\\\\nb &= -1\n\\end{align*}\n\\]\n\n\n\n

3. Funktionsgleichung aufstellen<\/h2>\n\n\n\n

Die bestimmten Werte f\u00fcr \\(m\\) und \\(b\\) werden in den Ansatz eingesetzt. Somit lautet die gesuchte lineare Funktion <\/p>\n\n\n\n\\[\ny = 2x -1.\n\\]\n\n\n\n

Aufgabe 1<\/h2>\n\n\n\n