Grenzwert bestimmen (Limes)

Grenzwertbestimmung ist ein zentrales Thema in der Analysis. Sie beschreibt, welchen Wert eine Folge oder eine Funktion annimmt, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt strebt.

Der Limes ist das mathematische Werkzeug, das diese Idee formalisiert. In der Formulierung des Limes wird die Beziehung zwischen einer Folge oder Funktion und ihrem Grenzwert präzise beschrieben. Der Limes ermöglicht es, Grenzwerte zu bestimmen, zu beweisen und mit ihnen weiterzuarbeiten.

Beispiel: Grenzwert einer Funktion

\[ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \]

Wir wollen den Grenzwert von \( f(x) \), wenn \( x\) gegen unendlich strebt, bestimmen. Dazu stellen wir uns die folgende Frage:

Was pasiert mit den \(y\)-Werten von \(f(x)\), wenn \(x\) immer größer wird?

Schauen wir uns hierzu den Graphen an:

In der Animation können die Koordinaten des Punktes \(A\) beobachtet werden. Daran erkennt man, dass der \(x\)-Wert immer größer und der \(y\)-Wert immer kleiner wird. Man könnte vermuten, dass \(y\) irgendwann den Wert \(y= 0\) erreicht. Dies ist aber nur möglich, wenn \(x \to \infty\) läuft. Bei der Funktion \(f(x)\) handelt es sich um eine Halbierungsfunktion. Sie beginnt mit einem \(y-\)-Wert \(y=1\) und wird mit jedem \(x\) halbiert. Wird \(y\) also jemals den Wert \(y=0\) erreichen? Versuchen wir es mit einem Gedankenexperiment:

Wir starten, wie bei \(f(x)\), mit einem Wert von \(y=1\). Wie oft müsste \(y\) halbiert werden, damit dieser Wert Null wird? Probiere es gerne mit einem Taschenrechner aus!

Das Ergebnis des Gedankenexperiments ist, dass \(y\) niemals Null wird, da ich jede reelle Zahl nochmal durch zwei teilen kann. Es gibt also unendlich viele kleine Zahlen für \(y\). Aber wir können angeben, welchen Wert sich \(y\) annähert, wenn \(x\) immer größer wird. Hierfür nutzen stellen wir den Grenzwert \(G\) mit Hilfe des Limes auf:

\begin{align*} G &= \lim_{x \to \infty} \left( f(x) \right) \\ &= \lim_{x \to \infty} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \right) \\ &= 0 \end{align*}

Wie wird der Limes nun angewendet?

Man stelle sich vor, dass für \(x\) tatsächlich nun \( \infty \) eingesetzt wird. Welchen Wert müsste der Term dann ergeben? Richtig, Null!