Wertebereich einer Funktion

Der Wertebereich \( \mathbb{W} \) einer Funktion \( f(x) = y \) beschreibt die Menge aller Werte \( y \), die die Funktion für zulässige Werte \( x \) aus der Definitionsmenge \( \mathbb{D} \). Umgangssprachlich bedeutet das: “Welche Werte \(y\) können aus der Funktion \(f(x)\) herauskommen?”.

Für die lineare Funktion \( f(x)=2x+3 \) gilt, dass jedes reelles \( y \) durch ein geeignetes \( x \) erreicht werden kann. Es sind also ganze, negative, und gebrochende Zahlen für \(y\) möglich. Daher ist
\[
y = 2x + 3
\]
der Wertebereich \( y \in \mathbb{R}\).

Die Parabel \( f(x)=x^2 \) nimmt nur nicht-negative Werte an. \(y\) kann also eine ganze oder gebrochende Zahl sein, aber keine negative. Der Wertebereich ist daher \(y \in \mathbb{R}^+ \).

Um den Wertebereich der Funktion \( f(x)=x^2-4x+5 \) zu bestimmen, kann man die quadratische Ergänzung verwenden, um die Funktion in eine übersichtlichere Form zu bringen:
\[
\begin{align}
f(x) &= x^2-4x+5 && \text{(Ausgangsgleichung)} \\
&= (x^2-4x+4)+1 && \text{(Quadrat ergänzen)} \\
&= (x-2)^2+1 && \text{(Vollständiges Quadrat)} \\
\end{align}
\]
Da \((x-2)^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt
\[
y \geq 1
\]
Der Wertebereich ist also \( y \in [1, \infty)\) (klick hier, wenn du Intervalle nochmal wiederholen willst).

Für die Funktion \( f(x)=\frac{1}{x-1} \) ist die Definitionsmenge \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) (alle reellen Zahlen ohne die Eins). Dies muss so sein, da in der Mathematik nicht durch Null geteilt werden darf. Da also der Nenner niemals Null wird, kann \( f(x) \) jeden reellen Wert außer Null annehmen. Der Wertebereich ist daher
\[
y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}
\]