Anwendung der h-Methode

In diesem Beitrag wird nur anhand eines Beispiels gezeigt, wie die h-Methode zur Berechnung der lokalen Änderungsrate angewendet wird. Hier gelangst du zur Herleitung der h-Methode.

Aus der Herleitung geht hervor, dass die folgende Gleichung

\[ m = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h+a)-f(a)}{h} \right) \]

die lokale Änderungsrate \( m \) an der Stelle \( a \) entspricht.

Beispiel

Bestimme mithilfe der h-Methode die lokale Änderungsrate der Funktion \( f(x) = x^2 – 4x \) an der Stelle \( a = 2 \).

Als erstes wird \( a = 2 \) in die oben stehende Formel für die lokale Änderungsrate eingesetzt:

\[ m = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h+2)-f(2)}{h} \right) \]

Hierfür schauen wir uns die Terme \( f(2) \) und \( f(h+2) \) genauer an:

\begin{align} f(2) &= 2^2 -4 \cdot 2 \\ &= 4-4\\ &= 0 \end{align} \[ \begin{align} f(h+2) &= (h+2)^2 – 4 \cdot 2 \\ &= h^2+4h+4-4\\ &= h^2+4h \end{align} \]

Diese beiden Ergebnisse können wieder in die Gleichung für die Steigung \( m \) eingesetzt werden:

\[ \begin{align*} m &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2+4h-0}{h} \right)\\ &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2+4 h}{h} \right) && | h \text{ kürzen}\\ &= \lim_{h \to 0} \left( h+4 \right) \\ \end{align*} \]

Um nun den Limes aufzulösen stellen wir uns vor, dass \( h = 0 \) ist:

Das bedeutet, dass an der Stelle \( a = 2 \) der Funktion \( f(x) \) die lokale Änderungsrate (Steigung) \( m = 4 \) ist.