Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung)
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In diesem Beitrag führe ich dich anhand der Funktion \( f(x) = 3x^4 – 8x^3 + 6x^2 \) durch alle Schritte einer vollständigen Kurvendiskussion – von der Definitionsbestimmung über Ableitungen und Extremstellen bis hin zu Wendepunkten, Asymptoten und der graphischen Darstellung.
Definitions- und Wertebereich
Der Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) von \( f(x) \) ist die Menge aller \(x\)-Werte, für die die Funktionsgleichung einen sinnvollen, reellen Wert liefert. Umgangssprachlich ausgedrückt bedeutet das: Welche Zahlen darf ich für \(x\) in die Funktion \(f(x)\) einsetzen?
Demnach suchen wir uns eine Zahlenmenge für \( x \) aus, bei dem jeder Wert einem Ergebnis für \( y \) entspricht: die reellen Zahlen. Daher ist der Definitionsbereich
\[
x \in \mathbb{R}.
\]
Der Wertebereich \( \mathbb{W} \) einer Funktion \( f(x) = y \) beschreibt die Menge aller Werte \( y \), die die Funktion für zulässige Werte \( x \) aus der Definitionsmenge \( \mathbb{D} \). Umgangssprachlich bedeutet das: “Welche Werte \(y\) können aus der Funktion \(f(x)\) herauskommen?”.
Bei unserer Funktion \( f(x) \) können alle reelle Zahlen herauskommen. Daher ist ebenfalls der Wertebereich
\[
y \in \mathbb{R}.
\]