Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung)
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In diesem Beitrag führe ich dich durch alle Schritte einer vollständigen Kurvendiskussion – von der Definitionsbestimmung über Ableitungen und Extremstellen bis hin zu Wendepunkten, Asymptoten und der graphischen Darstellung.
Definitions- und Wertebereich
Um den Definitions- und Wertebereich zu bestimmen, solltest du dich mit den gängigen Zahlenmengen auskennen.
Der Definitionsbereich (oder Domäne) ist die Menge aller \(x\)-Werte, für die die Funktionsgleichung einen sinnvollen, reellen Wert liefert. Umgangssprachlich ausgedrückt bedeutet das: Welche Zahlen kann ich für \(x\) in eine Funktion \(f(x)\) einsetzen?
Schau dir dazu Besonderheiten im Funktionsform an (z. B. Brüche, Wurzeln, Logarithmen). Daran kann ausgemacht werden, welche Werte für \(x\) ungültig sind.
Zum Beispiel dürfen in die Funktion \(f(x) = \sqrt{x}\) keine negativen Werte für \(x\) eingesetzt werden, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden darf:
\[ f(x=-9) = \sqrt{-9} = \text{ nicht definiert} \]Das bedeutet also, dass keine negativen Zahlen für \(x\) erlaubt sind. Grundsätzlich dürfen aber auch gebrochene, rationale und irrationale Zahlen eingesetzt werden. Demnach suchen wir uns eine Zahlenmenge aus, die all diese Kriterien erfüllt: die positiven reellen Zahlen.
\[ x \in \mathbb{R}^{+} \]