Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(1\), der um den Ursprung \((0|0)\) im Koordinatensystem liegt. Er ist perfekt geeignet, um die Funktionen Sinus und Cosinus anschaulich zu erklären.
Was passiert am Einheitskreis?
- Wir betrachten den roten Punkt \(P\) auf dem Kreis, der durch einen Winkel \(\alpha\) zur x-Achse festgelegt ist.
- Der Winkel \(\alpha\) wird gegen den Uhrzeigersinn vom positiven x-Achsen-Abschnitt aus gemessen.
So sieht das dann aus:
\[
\cos(\alpha) = x\text{-Koordinate des Punktes } P
\]
\[
\sin(\alpha) = y\text{-Koordinate des Punktes } P
\]
Das heißt:
- Cosinus beschreibt, wie weit der Punkt \(P\) in x-Richtung liegt.
- Sinus beschreibt, wie weit der Punkt \(P\) in y-Richtung liegt.
Zusammenhang im rechtwinkligen Dreieck
Zeichnet man vom Punkt \(P\) ein Lot auf die x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Darin gilt dann:
\[
\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{1} = x
\]
\[
\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y
\]
Da der Radius \(r = 1\) ist, sind Cosinus und Sinus direkt die Koordinaten des Punktes.
Was ist mit dem Tangens?
Der Tangens ergibt sich aus dem Verhältnis von Sinus zu Cosinus:
\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\]
Geometrisch betrachtet, entspricht er der Länge der Tangente, die am Punkt \((1|0)\) anliegt und die Verlängerung des Radius im Winkel \(\alpha\) schneidet.
In diesem Beitrag liegt der Fokus aber auf Sinus und Cosinus.