Normalform in Scheitelpunktform

In diesem Beitrag lernst du, wie du die Standardform einer quadratischen Funktion \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) in die Scheitelpunktform \(f(x) = (x – d)^{2} + e\) überführst.

Wir zeigen Schritt für Schritt, wie man durch eine Quadratische Ergänzung \(q\) die Funktionsgleichung neu schreibt.

Das Vorgehen sieht im Grunde wie folgt aus:

Hierbei ist die erste Zeile die Funktion in der Normalform und die letzte Zeile die Funktion in der Scheitelpunktform (unser Ziel). Die mittlere Zeile ist ein Umformungsschritt, den wir brauchen. Hierfür müssen wir den Wert für \(d\) bestimmen:

\[ -d = \frac{b}{2} \]

Hiermit lässt sich nun die Quadratische Ergänzung \(\pm q\)

\[ q = d^2 \]

und der Wert für \(e\)

\[ e = c – q \]

berechnen.

Beispiel

Uns liegt die folgende quadratische Funktion in der Normalform vor:

\[ f(x) = x^2 -4x +2 \]

Diese möchten wir nun in die Scheitelpunktform umformen. Hierfür lesen wir zunächst die Werte für \(b = -4\) und \(c = 2\) ab. Setzen wir diese Werte in die obigen Formeln für \(d, q, e\) ein, so erhalten wir

\[ -d = \frac{b}{2} = \frac{-4}{2} = -2, \] \[ q = d^2 = (-2)^2 = 4, \]

und

\[ e = c – q = 2 – 4 = -2. \]

Nun müssen diese Werte nur noch in die Scheitelpunktform eingesetzt werden:

\begin{align*} f(x) &= x^2 -4x +2 \\ &= x^2 -4x +4 -4 +2 \\ &= (x -2)^2 -2\\ \end{align*}

Somit lautet die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) \):

\[ f(x) = (x-2)^2 -2 \]