Brüche
Brüche sind die mathematischen Ausdrücke einer Zahl durch eine andere.
Der Zähler (obere Zahl) beschreibt, wie oft der Nenner zu zählen ist;
der Nenner (untere Zahl) sagt, in wie viele gleiche „Teilchen“ wir aufteilen.
Im Alltag begegnen uns Brüche überall – in Schichten, Kuchenstücken oder beim Vergleichen von Mengen. In diesem Beitrag zeigen wir dir die wichtigsten Regeln zum Rechnen mit Brüchen, jeweils mit einem kleinen Beispiel zum besseren Verständnis.
Was ist ein Bruch?
Ein Bruch hat die Form
\[ \frac{a}{b}, \]wobei \(a\) der Zähler (obere Zahl) und \(b\) der Nenner (untere Zahl, immer \(b \neq 0\) ) ist.
Kürzen
Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor \(d\) besitzen, kann man den Bruch kürzen:
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \div d}{\,b \div d\,} \]Beispiel:
\[ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{\,12 \div 4\,} = \frac{2}{3} \quad (\;d = 4) \]Addition / Subtraktion bei gleichem Nenner
Wenn der Nenner bei beiden Brüchen gleich ist, können die Zähler addiert / subtrahiert werden:
\[ \frac{a}{d} \;\pm\; \frac{b}{d} = \frac{\,a \;\pm\; b\,}{\,d\,} \]Beispiel:
\[ \frac{1}{3}\;+\;\frac{2}{3} = \frac{\,1+2\,}{\,3\,} = \frac{3}{3} = 1 \]Addition / Subtraktion bei ungleichem Nenner
Wenn die Nenner ungleich sind, müssen die Brüche zunächst so erweitert werden, dass sie den gleichen Nenner besitzen. Danach können wie zuvor die Zähler addiert / subtrahiert werden:
\[ \frac{a}{d} \pm \frac{b}{e} = \frac{a \cdot e \pm b \cdot d}{d \cdot e} \]Beispiel:
\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1\cdot6 + 1\cdot4}{4\cdot6} = \frac{10}{24} \quad (\text{d=4, e=6}) \]Multiplikation
Die beiden Brüche werden Zähler–mal‑Zähler und Nenner–mal‑Nenner multipliziert:
\[ \frac{a}{n} \cdot \frac{b}{m} = \frac{a \cdot b}{n \cdot b} \]Beispiel:
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2\cdot3}{\,3\cdot5\,} = \frac{6}{15} \xrightarrow{\text{kürzen}} \frac{2}{5} \]Division
Division einer Division ersetzt man durch mit-dem-Kehrwert-mal-nehmen (des zweiten Bruchs):
\[ \frac{a}{n} \div \frac{b}{n} = \frac{a}{n} \cdot \frac{m}{b} = \frac{a \cdot m}{n \cdot b} \]Beispiel:
\[ \frac{1}{2}\div \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3} = \frac{1\cdot4}{\,2\cdot3\,} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]Gemischte Brüche
Ein gemischter Bruch (\(c\): ganzzahliger Anteil, \(d\): Ungerader, \(n\): Nenner) kann in einen regulären Bruch und umgekehrt umgewandelt werden:
\[ c \frac{d}{n} = \frac{c \cdot n + d}{n} \]Beispiel:
\[ 1\,\frac{3}{4} = \frac{1\cdot4 + 3}{4} = \frac{7}{4} = 1\,\frac{3}{4} \]