Ableitungsregeln
Die Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung der Funktion an jeder Stelle.
Mit Ableitungsregeln kann man Funktionen systematisch und schnell ableiten – ohne jedes Mal den Differenzenquotienten zu benutzen.
In diesem Beitrag findest du eine kompakte Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln mit Beispielen.
Konstante Funktion
Regel: Die Ableitung einer konstanten Funktion ist null.
\[ f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0 \]Beispiel:
\[ f(x) = 5 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0 \]Potenzregel
Regel: Der Exponent wird vorgezogen und um 1 verringert.
\[ f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} \]Beispiel:
\[ f(x) = x^4 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 4x^3 \]Faktorregel
Regel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
\[ f(x) = a \cdot x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} \]Beispiel:
\[ f(x) = 3 \cdot x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3 \cdot 2x = 6x \]Summenregel
Regel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
\[ f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x) \]Beispiel:
\[ f(x) = x^3 + x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^2 + 2x \]Produktregel
Regel: „Erste abgeleitet mal zweite + erste mal zweite abgeleitet“
\[ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \]Beispiel:
\[ f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \]Quotientenregel
Regel: „Unten zum Quadrat, oben minuskreuz“
\[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \]Beispiel:
\[ f(x) = \frac{x^2}{x+1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{2x(x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} \]Kettenregel
Regel: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“
\[ f(x) = g(h(x)) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \]Beispiel:
\[ f(x) = \sin(x^2) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \]